A equação Áurea de Fibonacci

A harmonia da solidão.

Ao olhar uma árvore isolada, em um ambiente em que o seu crescimento não tenha tido nenhuma interferência climática extrema, podemos observar a harmonia de seu movimento e a beleza da sua forma.



Os estilos de bonsai retratam todas as formas e estéticas que as árvores apresentam ao se adaptar à natureza, clima, vento, altitude, temperatura e solo.Os estilos Hokidashi (vassoura), Chokan (ereto formal) e Moyogi (ereto informal) retratam bem essa harmonia. A solidão de uma árvore num campo aberto traz uma beleza singular; suas formas são leves e simétricas, seu crescimento em todas as direções seguem regras fractais de forma, que podem ser observadas em toda natureza, em um coral, numa semente de girassol, no movimento de uma onda, na formação geológica de cristais de rocha, na teia de aranha, nos flocos de neve, ou na rotação de uma gigantesca galáxia.


A equação áurea de Leonardo Pisani

O crescimento de uma planta, assim como tudo na natureza, segue uma regra matemática, que foi primeiramente estudada por Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci. Esta lei é conhecida como “Equação áurea” ou “Retângulo áureo”.


Retângulo áureo de Fibonacci


Estrutura do movimento em espiral do Nautilus.


Leonardo Pisani também conhecido como Fibonacci.

Um dos maiores gênios do cinema, o diretor Stanley Kubrick, imortalizou o retângulo áureo em seu filme “2001 uma Odisséia no espaço”, escolhendo como a forma que se manifesta nas etapas do conhecimento e evolução do homem. A famosa cena do aparecimento do monolito antes do momento em que os macacos usam o osso de um animal morto como ferramenta, e o osso sendo lançado ao céu se transformando em uma estação espacial, é uma das cenas mais poéticas do cinema.


Cena do filme 2001 uma Odisséia no Espaço.


Cena do filme 2001 uma Odisséia no Espaço.

O olho humano pode não notar, mas o crescimento de uma planta segue esta regra, seguindo um padrão de crescimento em espiral, como a espiral formada por uma grande furacão ou por um feto dentro do corpo da mãe.


Furacão observado por satélite.


Estrutura do movimento espiral de crescimento.

Uma planta em particular, mostra os números da sucessão de Fibonacci nos seus “pontos de crescimento”. Quando a planta tem um novo rebento, leva dois meses a crescer até que as ramificações fiquem sufecientemente fortes. Se a planta ramifica todos os meses, depois disso, no ponto de ramificação, obtemos uma figura semelhante à de baixo:


Crescimento vegetativo.

Os arranjos das folhas de algumas plantas em torno do caule são números de Fibonacci. Com este arranjo, todas as folhas conseguem apanhar os raios solares de igual forma. Quando chove, o escoamento da água torna-se também mais fácil.Na figura abaixo, podemos contar as folhas, seguindo-as pela ordem que aparecem, até encontrar uma folha exactamente na vertical da primeira.

Na planta do topo contamos três rotações no sentido dos ponteiros do relógio, antes de encontrarmos a folha na mesma direcção da primeira. Passamos por cinco folhas, até que isso aconteça. Se contarmos no sentido contrário aos ponteiros do relógio, precisamos de duas rotações. Os algarismos 2, 3 e 5 são como vimos, números da sucessão de Fibonacci. Podemos escrever então 3\5 de volta por folha.

Na outra planta, para encontrarmos a folha na mesma direcção da primeira tem de se fazer cinco rotações no sentido dos ponteiros do relógio . Passamos por oito folhas até que isso aconteça. Se contarmos no sentido contrário aos ponteiros do relógio, precisamos de três rotações. Os algarismos 3, 5 e 8 são como vimos, números da sucessão de Fibonacci. De igual modo podemos escrever 5\8 de volta por folha.

Podemos agora ver alguns exemplos de plantas em que isto acontece:

1\2 olmo, tília, limeira

1\3 faia, aveleira, amora silvestre

2\5 carvalho, cerejeira, macieira, azevinho, ameixieira, cardo-morto

3\8 choupo, álamo, roseira, pereira, salgueiro

5\13 amendoeira


Espirais de crescimento vegetativo.


Movimento em espiral de uma galáxia.


Via Lactea


Uma gigantesca onda forma matematicamente com precisão os números de ouro.

Meu interesse pela equação áurea é mais antiga do que a paixão pelos bonsais; desde pequeno as conchas e caramujos jogados pelo mar de Itaipuaçu chamaram a minha atenção e comecei a colecioná-los aos 8 anos de idade, após ganhar um livro de classificação de espécies do meu amado bisavô e padrinho, Herbert Alfred Lepper. Hoje tenho 18.000 espécies diferentes de todo mundo e mais de 45.000 conchas e caramujos.


Nautilus, esse Cephalopode é capaz de descer há 1000 metros de profundidade, mesmo possuíndo menos de 2 milímetros de espessura nas paredes externas de sua concha. Ele foi a base para o estudo e desenvolvimento do sistema de lastro nos submarinos. Através de câmaras ocas em seu interior, que se enchem de água através do bombeamento que é feito pelo seu corpo. Julio Verne deu o nome de Nautilus ao submarino de 20.000 léguas submarinas em sua homenagem. Um dos maiores submarinos nucleares americanos também recebeu seu nome.
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Estrutura do movimento em espiral dos caramujos.


A matemática Áurea na natureza.

Os caramujos quebrados pelas grandes ondas eram interessantes pois traziam espirais perfeitas, formas e estruturas harmoniosas.

Muitos artistas que viveram depois de Phidias usaram a proporção Áurea em seus trabalhos. Da Vinci a chamava: Divina Proporção e a usou em muitos de seus trabalhos. Na Mona Lisa observa-se a proporção Áurea em várias situações. Por exemplo, ao construir um retângulo em torno de seu rosto, veremos que este possui a proporção do retângulo Áureo. Podemos também subdividir este retângulo usando a linha dos olhos para traçar uma reta horizontal e ter de novo a proporção Áurea. Podemos continuar a explorar tal proporção em várias outras partes do corpo. Artistas têm usado a razão de ouro (medida de Ouro) em trabalhos de pintura e arte. Os trabalhos de Seurat e Mondrian mostram estas relações matemáticas.


Leonardo da Vinci era fascinado pela proporção áurea e a usava em seus quadros. Porquê a monalisa é tão atraente aos olhos, sua boca, mãos seu vestido, obedecem a essas regras matemáticas.

Os antigos arquitetos gregos já utilizavam essa proporção: ela é observada no Parthenon grego de Atenas, monumento que existe até hoje e obedece à proporção áurea da natureza na fachada, laterais e colunas. Pitágoras acreditava que o estudo da proporção áurea revelava os segredos da criação do universo.


Equação aplicada no Parthenon de Atenas.


Captéis que adornam o Parthenon grego de Atenas. Até nos detalhes foi seguida a proporção áurea.


Parthenon grego de Atenas construído seguindo a equação áurea.


Arquitetura seguindo a proporção Aurea.

A APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO ÁUREA ESTÁ EM TODAS AS ÁREAS ARSTÍSTICAS DA HUMANIDADE

Podemos citar diversos outros exemplos, como a Basílica de São Pedro no Vaticano, o nascimento de Vênus de Sandro Botticelli e obras como as de Salvador Dali, entre milhares de outras.

As Pirâmides de Gizé, no Egito, também foram construídas baseadas na razão de áurea: a razão entre a altura de uma face e a metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro: 1,618


Pirâmides de Gizé.


Como explicar que o Vilolino de maior qualidade sonora e mais famoso do mundo tenha sido construído seguindo todas as proporções da equação áurea?

“A matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo” – Galileu Galilei (1554-1642) atrônomo italiano.


Sequencia de numérica da equação aurea de Fibonaci: f(N)={1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,…}

Esta sequência de números tem uma característica especial denominada recursividade:

1o.termo somado com o 2o.termo gera o 3o.termo

2o.termo somado com o 3o.termo gera o 4o.termo

3o.termo somado com o 4o.termo gera o 5o.termo e continua ……

Os números de Fibonacci também podem ser vistos na organização das sementes na coroa das flores. À esquerda, encontra-se o diagrama de como o girassol ou uma margarida podem parecer quando aumentados. O centro é marcando com um ponto preto. Pode ver que as sementes parecem formar espirais a curvar tanto para a direita como para a esquerda. Se contar essas espirais que partem da direita, a partir da borda da figura, são 34. Para o outro lado quantas são? Verá que esses dois números são vizinhos na série de Fibonacci.


Flor de Girassol.


O mesmo acontece nas sementes reais da natureza. A razão, parece estar na forma da distribuição óptima das sementes, não importando o seu tamanho, mas sim a sua distribuição uniforme , desde que não estejam acumuladas no centro nem demasiado afastadas da margem.

Se contar as espirais perto do centro nas duas direcções, serão ambos números de Fibonacci.

Em baixo estão algumas figuras de 500, 1000 e 5000 sementes.


Considero que, para aplicação inicial no nosso trabalho com bonsai, mais do que estudar a proporção numérica e as proporções do retângulo áureo, o principal é olhar à nossa volta e procurar os números de Fibobonaci que estão na estrutura da natureza. O movimento natural gerado pela espiral é muito importante na estética do bonsai. Se observarmos uma árvore varrida pelo vento, seus galhos em todas as direções seguem em moviemntos suaves, para se adaptar e não quebrar. Se observados os flocos de neve, todos diferem um dos outros, mas o padrão hexagonal básico, com seis faces, é comum a todos eles, o padrão hexagonal segue a equação Áurea.


Corte horizontal em uma maça.


Floco de neve.


Floco de neve.

Proporções áureas do corpo humano estudadas durante anos por Leonardo da Vinci foram imortalizadas no homem Vitruviano e mostram a simetria aplicadas à concepção da beleza humana.
1-A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão.2-A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça.3-A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax.4-A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo.5-O tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta.6-A medida da dobra central até a ponta dividido e da segunda dobra até a ponta.7-A medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho até o chão.

CURIOSIDADE:O uso dos números de Fibonacci na bolsa de valores está baseado nos trabalhos pioneiros de Ralph Nelson ELLIOTT (1871-1948), um analista financeiro norte-americano que estudou o comportamento do índice Dow Jones, da Bolsa de Valores de Nova Iorque, a partir da década de 20 do século passado. Tendo presenciado a quebra da bolsa em 1929 e a Grande Depressão que dela se seguiu, Elliott concluiu que as flutuações da bolsa não eram aleatórias..::. Sua idéia básica é a de que as flutuações da bolsa seguem um padrão de crescimento e decrescimento que podem ser analisados segundo os números de Fibonacci, uma vez determinada a escala de observação. Assim, as relações entre picos e vales do gráfico da flutuação de bolsa tendem a seguir razões numéricas aproximadas das razões de dois números consecutivos da seqüência de Fibonacci. Como o próprio Elliott afirma, sua teoria não é capaz de prever com precisão as flutuações da Bolsa, mas de diminuir a probabilidade de riscos. Esta matéria é uma introdução ao universo gigantesco da equação áurea. Pretendo preparar uma matéria com aplicações das regras nos meus trabalhos, pois acho um assunto fascinante e, quanto mais estudo, mais noto a sua grandeza e sua beleza. Quanto mais aguçamos nossa visão para o detalhe, seja olhando um grão de areia ou uma montanha, mais o conhecimento aproxima nosso espírito do que não podemos tocar.

 Aido Bonsai